TÀI LIỆU THAM KHẢO
ÔN LUYỆN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
I. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP Z CÁC SỐ NGUYÊN.
1. Lý thuyết:
1.1 Tính chất chia hết:
* Định nghĩa: Cho a, b
Z ( b
0). Nếu có q
Z sao cho a = bq thì ta nói
a là bội của b hoặc b là ước của a ; a chia hết cho b hoặc b chia hết cho a
Kí hiệu: a
b hoặc b
a
* Tính chất cơ bản của quan hệ “chia hết” trong Z
Với mọi a, b, c, m, n
Z
1) a
b ( a
0)
2) 1
a ( a
0)
3) a
a ( a
0)
4) a
b và b
a => a =
b ( a, b
0)
5) a
b và b
c => a
c ( a, b
0) (tính chất bắc cầu)
6) c
a và c
b => c
(am + bn) ( c
0)
1.2. Phép chia có dư
a. Định lý: Cho hai số nguyên a, b ( b>0), bao giờ cũng có duy nhất cặp số nguyên q.r sao cho : a = b.q + r với 0
r < b
r là số dư trong phép chia a cho b ( r = 0: a chia hết cho b); r
0, có thể lấy số dư là số âm r’ = r – b.
b. Chia a cho b >0 thì số dư r là một trong b số:
b chẵn => r = 0 ,
1,
2......+

hoặc r = 0 ,
1,
2......-
hoặc r = 0,1,2,....., b-1
b lẻ => r = 0,
1,
2......-
hoặc r = 0, 1, 2,...., b – 1
1.3. Một số định lý quan trọng:
* Định lý 1. Một số d là ước chung của a và b khi và chỉ khi d là ước của ƯCLN (a,b) d
a và d
b <=> d
(a.b)
* Định lý 2. Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b) m
a và m
b <=>

* Định lý 3. (a.b).
= ab
* Định lý 4. Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia hết cho b.
c
a c
b và (a, b) = 1 => c
b
* Định lý 5. Nếu c chia hết cho a và b mà a,b nguyên tố cùng nhau thì c chia hết cho tích a.b
c
a c
b và (a, b) = 1 => c
a. b
2. Bài tập:
Phương pháp giải một số bài toán về chia hết.
* Phương pháp 1. Để chứng minh A(n) chia hết cho p, có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p.
Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi n
Z: A(n) = n(n2 +1) (n2 + 4)
5
Giải.
Xét mọi trường hợp khi chia n
Z cho 5 ta có số dư là r = 0,
1,
2.
r = 0 => n
5
r =
1 => n = 5k
1 => n2 = 25k2
10 k +1
=> n2 + 4
5
r =
2 => n = 5k
2 => 25k2
20 k + 4
=> n2 + 1
5
A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trường hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A(n)
5 với mọi n
Z ( đpcm)
Bài tập tham khảo:
Bài 1. Chứng minh rằng:
1. Tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3
2. Tổng của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 5
3. Tổng của 2k + 1 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2k + 1

Bài 2. Chứng minh rằng:
1. Trong hai số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 2 ( chẵn)
2. Trong ba số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 3
3. Trong k số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho k
* Phương pháp 2. Để chứng minh A(n) chia hết cho